1 问题的提出

　　1)同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡.则四张贺年卡的不同分配方式有[ ]

　　A.6种 B.9种 C.11种 D.23种

　　2)有5个客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家.回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子.问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种?

　　上述两个问题，实质上是完全一样的.是被著名数学家欧拉(Leonhard Euler，1707-1783)称为“组合数论的一个妙题”的“装错信封问题”的两个特例.“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667-1748)的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli，1700-1782)提出来的，大意如下：

　　一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种?

　　2 建立数学模型

　　“装错信封问题”及两个特例，其实就是n个不同元素的一类特殊排列问题，本文试就给出这类问题的数学模型及求解公式.为方便，我们先把n个不同的元素及相应的位置都编上序号1，2，…，n，并且约定：在n个不同元素的排列中

　　1° 若编号为i(i=1，2，…，n)的元素排在第i个位置，则称元素i在原位;否则称元素i不在原位.

　　2° 若所有的元素都不在原位，则称这种排列为n个不同元素的一个错排(若每个元素都在原位则称为序排).

　　按照上面约定，“装错信封问题”即为n个不同元素的错排问题，则可构建“装错信封问题”的数学模型为

　　在n个不同元素的全排列中，有多少种不同的错排?

　　3 模型求解

　　应用集合中的容斥原理，我们就可得到“装错信封问题”的数学模型的求解公式.

　　设I表示n个不同元素的全排列的集合

　　Ai(i=1，2，…，n)为元素i在原位的排列的集合.

　　Ai∩Aj(1≤i<

　　……

　　A1∩A2∩…∩An为n个元素的序排的集合.

　　则它们的排列数(即各个集合中元素的个数)分别为

　　|I|=n!

　　|Ai|=(n-1)!

　　|Ai∩Aj|=(n-2)!

　　……

　　……

　　|A1∩A2∩…∩An|=(n-n)!=0!

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