2014年内蒙古公务员备考：按步骤求解不定方程问题
发布时间：2014-03-13 11:00:01 内蒙古公务员考试网 来源：华图教育 
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考试快讯
如果未知数的个数多于方程的个数，这类问题就叫做不定方程。在考试中，部分考生认为所有的不定方程组难度都非常高，从而直接放弃。实际上，对于不同类型的不定方程问题采用不同的方法技巧来求解并不是想象中那么难，在此，我们对其进行总结，希望对广大考生有所帮助。
在判断出一道题目为不定方程组时，解该不定方程组的步骤为：
一、设问为变量之间的关系的题目
对于此类问题，直接使用“赋0法”求解不定方程组，具体步骤如下：
赋某个变量的值为0，一般令系数最复杂的变量为0，因为这样的话接下来的方程求解简单一些;
解二元一次方程组，可以求得具体的解，从而找到符合方程组的一组解;
将该组解替换相应的变量值，代入到所求的关系中去，所得的答案便是正确选项。
【例1】(2009年国家第112题)甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱( )
A.10元 B.17元
C.11元 D.21元
因此，本题的答案为10，选择A选项。
【结论】由此题可以看出，若所求的是变量间某个关系的值时，只需求出任意一组解，然后代入该关系即可得出答案。赋0法中所得的数字可能会和实际生活中的意义有矛盾，但是只要能解题，这个可以不予考虑。
【例2】(2007年江苏B类第80题)小张、小李、小王三人到商场购买办公用品，小张购买1个计算器，3个订书机，7包打印纸共需要316元，小李购买1个计算器，4个订书机，10包打印纸共需要362元。小王购买了1个计算器，1个订书机，1包打印纸共需要( )
A.224元 B.242元 C.124元 D.142元
因此，本题的答案为224，选择A选项。
在2012年的国考中的第72题，题目没有并未问到变量间某个关系，而是问以下说法正确的是哪一项，选项共给出了四个关系，有些学员会感到无从下手。实际上，因为这道题目所问的仍是变量间的关系，所以依然可用“赋0法”求解出不定方程组的任意一组解，进而判断选项中所提供变量间关系是否正确。因为正确的关系在任意一组解中都是正确的，不正确的关系在任意一组解中都是不正确的。具体过程如下：
【例3】(2012年国家第72题)三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票。如果三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投票的作品列为B等，仅有一位专家投票的作品列为C等。则下面说法正确的是：
A. A等和B等共6幅 B. B等和C等共7幅
C. A最多有5幅 D. A等比C等少5幅
3个未知数2个方程，可知这是一个不定方程组，无法得出确定的解。而题目所问的并不是某个关系的值，而是让考生判断四个选项所给的变量间关系是否正确。因此，我们使用“赋0法”进行求解。具体求解如下：
令A=0，然后求解二元一次方程组可得B=5，C=5。即求得原不定方程组的一组解为A=0，B=5，C=5。
用此组解来判断各选项所给的变量间关系是否正确即可，具体如下：
A选项认为“A等和B等共6幅”，但A+B=0+5=5，因此A选项不正确;
B选项认为“B等和C等共7幅”，但B+C=5+5=10，因此B选项不正确;
C选项认为“A最多有5幅”，若A为5副，则其共得15票，其余的画作不可能得到选票，与题目所给的“每幅作品都有投票”矛盾，因此C选项不正确;
D选项认为“A等比C等少5幅”，由C-A=5-0=5可知，A等的确比C等少5幅，因此D选项是正确的。
因此，本题选择D选项。
由此题可以看出，若题目要求判断几个变量间某个关系是否正确时，只需求出任意一组解，然后利用该组解代入该关系来判断即可。
由以上三个题目我们可知，只要不定方程组所求的内容是变量间的关系时，我们就直接用“赋0法”来进行求解。
二、直接代入可解的题目
如果题目问的并不是变量间的关系，那么“赋0法”便不能使用，但是当选项提供的是未知数的可能数值时，可以考虑直接带入，再结合题目所给信息，从而得出答案。
【例4】装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个?( )
A. 3，7 B. 4，6
C. 5，4 D. 6，3
【例5】某单位有宿舍11间，可以住67人，已知每间小宿舍住5人，中宿舍住7人，大宿舍8人，则小宿舍件数是()
A 6 B 9 C 8 D7
三、用隐藏条件求解的题目
如果题目既不是问变量间关系，也不能用直接带入法求解，那么这类题目往往是由题目中必然暗含一些限定条件，从而可以得到不定方程的具体解，一般说来，这些限定条件有整除、奇偶、尾数、质数等数字特性，把这些限定条件利用好，然后结合代入法，便可得到正确答案。
【例6】某儿童艺术培训中心有5名钢琴师与6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均的分给各个老师带领，刚好能分配完，且每位老师带的学生数量都是质数。后来由于学生数量减少，培训中心只留下了4名钢琴师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心剩多少学员?
A.36 B.37 C39 D41
【解析】设钢琴教师和拉丁舞教师人数分别为x和y，那么由题目可得方程
本题设问既不是变量间关系，直接带入法也无法得出答案，因此只能寻找题目中的暗含条件来求解。
观察方程，6y必为偶数，76也是偶数，又因为 ，所以5x也是偶数，而5是奇数，那么x必然为偶数，由题意知x、y都是质数，所以，x既是偶数也是奇数，这样的数只有2，所以x=2，带入方程可得y=11。
因此，培训中心剩下的学员数量为 ，本题选择D选项。
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（编辑：常青藤）
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