2020军队文职专业科目数学1向量和方程

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2020军队文职专业科目数学1向量和方程

　　本章内容主要包括向量组及其线性相关性、向量组的秩、向量空间、n 维欧几里得空间。

　　第一节 向量组及其线性相关性

　　一、n 维向量

　　n 维向量;分量;零向量;n 维单位向量。

　　二、向量由向量组的线性表示

　　矩阵的列向量组、行向量组;线性组合;向量的线性表示;向量线性表示的充要条件。

　　三、向量组的线性相关性

　　线性相关、线性无关;线性无关的充要条件、充分条件、必要条件;线性相关与线性表示的内在联系;初等行(列)变换与矩阵列(行)向量组的线性相关性。

　　第二节 向量组的秩

　　一、等价向量组

　　两个向量组的等价;一个向量组被另一个向量组线性表示的充要条件、充分条件、必要条件;向量组等价的充要条件。

　　二、向量组的极大线性无关组与秩

　　向量组的极大线性无关组;极大线性无关组的等价定义;向量组的秩;矩阵的列秩、行秩与秩的关系。

　　第三节 向量空间

　　一、向量空间的概念

　　向量空间;运算的封闭性;零空间;生成的向量空间;子空间。

　　二、向量空间的基与维数

　　基;维数;n 维向量空间;自然基;坐标。

　　三、基变换和坐标变换

　　过渡矩阵;基变换公式;坐标变换公式。

　　第四节 n 维欧几里得空间

　　一、向量的内积

　　实向量的内积;n 维欧几里得空间;内积的性质;长度(范数);长度的性质;向量的夹角;正交。

　　二、正交向量组

　　正交向量组;标准正交向量组;正交向量组的性质;正交基;规范正交基;施密特正交化方法。

　　三、正交矩阵与正交变换

　　正交矩阵;正交矩阵的充要条件;正交变换;正交变换的性质。

　　第四章 线性方程组

　　主要测查应试者对线性方程组基本概念、线性方程组的求解和解的结构理论的掌握程度。要求应试者理解线性方程组、通解、解空间、基础解系等概念;掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、非齐次线性方程组有解的充分必要条件、齐次线性方程组的解空间的理论、齐次线性方程组的基础解系和通解的求法、非齐次线性方程组解的结构及通解、初等行变换求解线性方程组的方法等基本理论和基本方法。

　　本章内容主要包括线性方程组的基本概念、线性方程组的消元法、线性方程组解的结构。

　　第一节 线性方程组的基本概念

　　一、线性方程

　　n 元线性方程;线性方程的几何意义。

　　二、线性方程组的表示与解

　　mn 线性方程组;线性方程组的几何意义;线性方程组的解;同解方程组;相容(有解)方程组;矛盾(无解)方程组;解向量;通解;特解。

　　三、线性方程组的分类

　　齐次线性方程组;非齐次线性方程组。

　　第二节 线性方程组的消元法

　　一、线性方程组的初等变换

　　对调变换;倍乘变换;倍加变换;初等变换的性质;消元法。

　　二、化一般方程组为阶梯方程组

　　自由未知量;基本未知量;阶梯方程组;非齐次线性方程组解的判别;齐次线性方程组有非零解的判别准则。

　　第三节 线性方程组解的结构

　　一、齐次线性方程组解的结构

　　齐次线性方程组的解对线性运算的封闭性;解空间;基础解系;求基础解系的方法;齐次线性方程组的通解。

　　二、非齐次线性方程组解的结构

　　导出方程组;齐次线性方程组的解与非齐次线性方程组解的关系;非齐次线性方程组解

　　的结构;初等行变换法求非齐次线性方程组的解。

　　矩阵的相似化简

　　主要测查应试者对矩阵的特征值理论、相似矩阵、实对称矩阵对角化理论的掌握程度。要求应试者理解矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵等概念，掌握矩阵特征值的性质，矩阵的特征值和特征向量的计算、矩阵可相似对角化的充分必要条件、将矩阵化为相似对角矩阵的方法、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质等基本理论和基本方法。

　　本章内容主要包括特征值与特征向量、矩阵的相似对角化、实对称矩阵的对角化。

　　第一节 特征值与特征向量

　　一、特征值与特征向量的概念

　　特征值、特征向量;特征多项式;特征方程。

　　二、特征值与特征向量的性质和计算

　　特征值和特征向量的性质;特征值和特征向量的计算;矩阵的迹;矩阵的特征值与矩阵的关系;相异特征值对应的特征向量。

　　三、相似矩阵的概念和性质

　　相似矩阵;相似变换;相似矩阵的性质;相似矩阵的特征值和迹。

　　第二节 矩阵的相似对角化

　　一、相似对角化的条件和方法

　　矩阵的对角化;n 阶矩阵可对角化的充要条件;n 阶矩阵可对角化的充分条件;n 阶矩阵相似对角化的步骤。

　　二、可对角化矩阵的多项式

　　对角矩阵的幂;可对角化矩阵的多项式。

　　第三节 实对称矩阵的对角化

　　一、实对称矩阵的特征值与特征向量

　　实对称矩阵的特征值及特征向量的性质;实对称矩阵的相似正交对角化。

　　第六章 二次型

　　主要测查应试者对二次型的矩阵表示和标准形、实二次型的规范形、正定二次型的掌握程度。

　　要求应试者理解合同矩阵、二次型、正定二次型、正定矩阵、二次型秩等概念;掌握二次型及其矩阵表示、二次型的标准形、实二次型的规范形、用正交变换化实二次型为标准形、化二次型为标准形的配方法和合同初等变换法、惯性定理和实二次型的正惯性指数、负惯性指数以及判别二次型和矩阵的正定性的方法等理论。

　　本章内容主要包括二次型及其矩阵表示、二次型的标准形、正定二次型。

　　第一节 二次型及其矩阵表示

　　一、二次型的概念

　　二次型;二次型的矩阵表示;二次型的矩阵;二次型的秩;标准形;规范形。

　　二、可逆线性变换

　　实线性变换;可逆的(满秩的或非退化的)线性变换;合同矩阵;合同初等变换。

　　第二节 二次型的标准形

　　一、正交变换法

　　正交变换及性质;用正交变换化二次型为标准形;用配方法化二次型为标准形。

　　二、实二次型的规范形

　　实二次型的规范形;惯性定理;正惯性指数;负惯性指数。

　　第三节 正定二次型

　　一、正定二次型

　　正定二次型;实二次型正定的充要条件。

　　二、正定矩阵

　　正定矩阵;实对称矩阵正定的充要条件。

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